放送作家になるのに必要な資格はありませんし、学歴も関係ありません。
放送作家に必要な能力は、台本を書くための「日本語力や文章力」と、企画を考えるための「発想力や知識の豊富さ」だと言えます。
これらをしっかりと身につけるために、大学や専門学校で学んでいる人は多いようです。発想力を高めるには、日頃からさまざまなことに興味を持ち、自分なりのアイディアを出す訓練が必要だと思いますし、それがある意味「資格」なのかもしれません。
また、放送作家になるための専門学校や大学があるので、そこへ通うのも一つの手です。

ラジオ番組を聴いたことがある人なら「ハガキ職人」という言葉を知っていると思いますが、ラジオ番組では、番組構成においてリスナーから届くハガキがとても重要な役割を担っていて、毎週何度もハガキが読まれる常連さん、つまり「ハガキ職人」からスカウトされて放送作家になる人もいます。
番組のディレクターが「このハガキ職人は面白い！」と感じると、「何か面白い企画ない？」と声をかけることがあるそうで、そこでもし面白い企画が出せれば、放送作家になることができます。
このパターンはよく放送作家になる王道パターンだと言われていて、ラジオネームが本名の人は放送作家志望の人が多いというラジオあるあるもあります。
例を出すと、「ラブレターズのオールナイトニッポン0」を中心に読まれていたハガキ職人「ラジオネーム：関口勇斗」さんが現在、放送作家として働いています。

放送作家になるのには上記のように特別な資格は必要ありませんので夢があればなることができます。
しかし、放送作家で成功するとなるとまた別の話になります。
「転職」はできても「転職が成功」するかはその人の努力と才能、運が重要になってきます。

ラジオがどれだけ好きか、それに尽きると思います。
「芸能人に会いたい」
「芸能人と友達になりたい」
という気持ちでは続かないと思います。いや、そんな理由で始めた人でも成功する人はいるでしょうが、それはたまたま才能があったからというレアケースでしょう。
どれだけラジオが好きでどんなラジオが理想なのかを考えられるほどのラジオ愛が、放送作家になるのに一番大切な要素だと思います。